Question

某工廠生產甲、乙兩種產品，這兩種產品每千克的產值分別為600元和400元，已知每生產1千克甲產品需要A種原料4千克，B種原料2千克；每生產1千克乙產品需要A種原料2千克，B種原料3千克．但該廠現有A種原料100千克，B種原料120千克．問如何安排生產可以取得最大產值，并求出最大產值．

Answer 1

分析：先設生產甲、乙兩種產品分別為x千克，y千克，其利產值為z元，列出約束條件，再根據約束條件畫出可行域，設z=600x+400y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=600x+400y過可行域內的點時，從而得到z值即可．

解答：解析：設生產甲、乙兩種產品分別為x千克，y千克，其利產值為z元，
根據題意，可得約束條件為

4x+2y≤100 2x+3y≤120 x≥0，y≥0

…（3分）
作出可行域如圖：…．（5分）
目標函數z=600x+400y，
作直線l₀：3x+2y=0，再作一組平行于l₀的直線l：3x+2y=z，當直線l經過P點時z=600x+400y取得最大值，…．（9分）
由

4x+2y=100 2x+3y=120

，解得交點P（ 7.5，35）…．（12分）
所以有z最大=600×7.5+400×35=18500（元）…（13分）
所以生產甲產品7.5千克，乙產品35千克時，總產值最大，為18500元．…（14分）

點評：本題是一道方案設計題型，考查了列一元一次不等式組解實際問題的運用及一元一次不等式組的解法的運用，解答時找到題意中的不相等關系是建立不等式組的關鍵．