Question

4．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，平面ABC⊥平面B₁BCC₁，BC=BB₁=2$\sqrt{3}$，∠B₁BC=60°，D為B₁C₁的中點．
（1）求證：AC₁∥平面A₁BD；
（2）求二面角B₁-A₁B-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AB₁交A₁B于E，連接DE，有DE∥AC₁，根據線面平行的判定即可證明線面平行；
（2）首先證明A₁D⊥面B₁BCC₁，連接DC，利用空間直角坐標系，面B₁A₁B的法向量與面A₁BD的法向量的向量夾角公式求出二面角；

解答 （12分）（1）證明：連接AB₁交A₁B于E，連接DE，
由棱柱的性質知ABB₁A₁為平行四邊形，
⇒E為AB₁中點，又D為B₁C₁的中點，
故 $\left.\begin{array}{l}A{C_1}∥DE\\ DE?面{A_1}BD\\ A{C_1}?面{A_1}BD\end{array}\right\}⇒A{C_1}∥面{A_1}BD$；
（2）$\left.\begin{array}{l}面ABC⊥{B_1}BC{C_1}\\ 面ABC∥面{A_1}{B_1}{C_1}\end{array}\right\}⇒面{A_1}{B_1}{C_1}⊥{B_1}BC{C_1}$，
又由題易知A₁D⊥B₁C₁，所以A₁D⊥面B₁BCC₁，
連接DC，可得DB₁，DC，DA₁兩兩互相垂直，
如圖，以D為原點，DB₁，DC，DA₁為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，
由題易求得：
面B₁A₁B的法向量$\overrightarrow{n_1}=（{\sqrt{3}\;\;，\;\;-1\;\;，\;\;3}）$，
面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n_2}=（{\sqrt{3}\;\;，\;\;-2\;\;，\;\;0}）$，
所以$cosθ=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}}|=\frac{10}{{\sqrt{13}\sqrt{28}}}=\frac{{5\sqrt{91}}}{91}$．

點評 本題主要考查了線面平行的判斷證明，線面垂直的判斷證明以及利用向量求解二面角，屬中等題．