Question

16．某企業共有20條生產線，由于受生產能力和技術水平等因素的影響，會產生一定量的次品．根據經驗知道，每臺機器產生的次品數p萬件與每臺機器的日產量x萬件（4≤x≤12）之間滿足關系：p=0.1125x²-3.6lnx+1．已知每生產1萬件合格的產品可以以盈利3萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元．
（Ⅰ）試將該企業每天生產這種產品所獲得的利潤y表示為x的函數；
（Ⅱ）當每臺機器的日產量為多少時，該企業的利潤最大，最大為多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件直接列出該企業每天生產這種產品所獲得的利潤y表示為x的函數；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求解函數的導數，利用函數的極值以及單調性，求解函數的最值即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）根據題意，該企業所得利潤為：y=20•[3（x-p）-p]=20（3x-4p）=60x-80p…（2分）
=60x-80（0.1125x²-3.6lnx+1）=60x-9x²+288lnx-80（4≤x≤12）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$y'=60-18x+\frac{288}{x}=\frac{{60x-18{x^2}+288}}{x}$…（6分）
=$\frac{{-6（3{x^2}-10x-48）}}{x}=\frac{-6（3x+8）（x-6）}{x}$．
令y'=0，可得x=6或$x=-\frac{8}{3}$．…（8分）
從而當4＜x＜6時，y'＞0，函數在（4，6）上為增函數；
當6＜x＜12時，y'＜0，函數在（6，12）上為減函數．…（9分）
所以當x=6時函數取得極大值，
即當x=6時，${y_{min}}=60×6-9×{6^2}+288ln6-80=288ln6-44$，…（12分）
所以每臺機器的日產量為6萬件時，該企業的利潤最大，
最大利潤為288ln6-44（萬元）．…（13分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的解析式的求法，考查分析問題解決問題的能力．