Question

在平面直角坐標系xOy中，過定點C（p，0）作直線與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點
（I）設N（-p，0），求

NA

•

NB

+1的最小值；
（II）是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，將直線的方程與拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系，表達出兩個向量的數量積．
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，再利用弦長公式，求出a，p的關系式，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答： 解：（I）依題意，可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為：x=my+p，
由

x=my+p y2=2px

⇒y²-2pmy-2p²=0，∴

y1+y2=2pm y1y2=-2p2

，

NA

•

NB

=（x₁+p）（x₂+p）+y₁y₂=（my₁+2p）（my₂+2p）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+2pm（y₁+y₂）+4p²，=2P²m²+2P²，
當m=0時，

NA

•

NB

+1的最小值為2p²+1；
（II）假設滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，設AC的中點為O′，
l與以AC為直徑的圓相交于P，Q，PQ中點為H，
則O′H⊥PQ，O′的坐標為（

x1+p

2

，

y1

2

）．
∵|O'P|=

1

2

|AC|=

1

2

(x1-p)2+y12

=

1

2

x12+p2

，
|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

（x₁²+p²）-

1

4

（2a-x₁-p）²=（a-

1

2

p）x₁+a（p-a），
|PQ|²=（2|PH|）²=4[（a-

1

2

p）x₁+a（p-a）]，
令a-

1

2

p=0得a=

1

2

p．此時|PQ|=p為定值．
故滿足條件的直線l存在，其方程為x=

1

2

p．

點評：本題考查弦長的計算和直線與拋物線位置關系的綜合運用，解題時要注意方程思想和弦長公式的合理運用，注意合理地進行等價轉化