Question

已知x，y滿足

2x-y≥2 x+y≤2 y≥a(x-1)

，且z=x+y能取到最小值，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、a＜-1
• B、a≥2
• C、-1≤a≤0
• D、-1≤a＜2

Answer 1

分析：作出目標函數z=x+y對應的直線l，可得直線l越向下平移z的值越�。�根據直線y=a（x-1）表示經過點A（1，0）且斜率為a的直線，得到不等式y≥a（x-1）表示的平面區域在直線y=a（x-1）的上方．因此作出題中不等式組表示的平面區域，可得z=x+y在點A（1，0）處取得最小值1，觀察斜率的變化即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：設直線l：z=x+y，可得的直線l的斜率為-1，
觀察直線l在y軸上的截距變化，可得當直線l越向下平移，l在y軸上的截距越小，
相應地目標函數z也變�。�
不等式組

2x-y≥2 x+y≤2

表示的平面區域，在直線2x-y=2的下方，
且在直線x+y=2的下方．
∵直線y=a（x-1）表示經過點A（1，0）且斜率為a的直線，
∴不等式y≥a（x-1）表示的平面區域，在直線y=a（x-1）的上方．
由此可得：當直線y=a（x-1）的斜率大于-1，而小于直線2x-y=2的斜率時，
不等式組

2x-y≥2 x+y≤2 y≥a(x-1)

表示的平面區域為如圖的△ABC及其內部，
此時目標函數z=x+y在點A（1，0）處取得最小值為1，a的取值范圍是-1＜a＜2；
又∵當a=-1時，題中不等式組表示的平面區域為斜率等于-1的兩條平行線間、且在直線2x-y=2的下方的部分，
z=x+y也可在點A（1，0）處取得最小值1，
∴實數a的取值范圍是-1≤a＜2．
故選：D

點評：本題給出含有參數的不等式組，在目標函數z=x+y能取到最小值的情況下求參數的取值范圍．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域、直線的斜率和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．