Question

【題目】已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．
（1）當a=3，解關于x的不等式f（x）＞g（a）+2；
（2）當x∈[﹣a，1）時恒有f（x）≤g（a），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=3時，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，

f（x）＞g（a）+2化為|x﹣1|+|x+3|＞6，

x＜﹣3時，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，

﹣3≤x≤1時，﹣x+1+x+3＞6，無解，

x＞1時，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．

綜上所述，x＜﹣4或x＞2，

∴不等式的解集為{x|x＜﹣4或x＞2}

（2）解：∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，

∴f（x）≤g（a），化為1+a≤a2﹣a﹣2，

∴a2﹣2a﹣3≥0，

∴a≥3或a≤﹣1，

又﹣a＜1，∴a＞﹣1，

∴a≥3．

【解析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化為|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出結論；（2）當x∈[﹣a，1]時恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求實數a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．