Question

已知（）是曲線上的點，，是數列的前項和，且滿足，， ．

（1）證明：數列（）是常數數列；

（2）確定的取值集合，使時，數列是單調遞增數列；

（3）證明：當時，弦（）的斜率隨單調遞增

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知有，即，而數列中，因此已知式變為，這是的遞推式，我們可以用代換其中的得，兩式相減，可把轉化為的遞推式，出現了數列相鄰項的和時，同樣再把這個式子中的用代換，得，兩式相減，得，代入可證得為常數；（2）由（1）說明數列的奇數項，偶數項分別成等差數列且公差為6，因此要使數列為遞增數列，只要有即可，解這個不等式可得的范圍；（3），本題就是要證明，考慮到數列是遞增數列，函數是增函數，因此只要證，即證

，這就是，從的圖象上可算出這個結論是正確的，從數上看，取為常數，，我們要證明函數為增函數，這用導數的知識可證．

（1）當時，由已知得，

因為，所以. ①

于是， ②

由②－①得， ③

于是， ④

由④－③得. ⑤

所以，即數列是常數數列.

（2）由①有，所以.由③有，所以.而⑤表明數列和分別是以為首項，6為公差的等差數列，

所以，

數列是單調遞增數列，且對任意的成立，

且

.

即所求取值集合為.

（3）解法一：弦的斜率為，

任取，設函數，則，

記，則，

當時，，在上為增函數，

當時，，在上為減函數，

所以時，，從而，所以在和上都是增函數.

由（2）知時，數列單調遞增，

取，因為，所以，

取，因為，所以，

所以，即弦的斜率隨單調遞增.

解法二：設函數，同解法一得，在和上都是增函數，

所以，，

故，即弦的斜率隨單調遞增.

考點：（1）數列的通項與性質；（2）遞增數列與參數取值范圍；（3）數列與導數、解析幾何的綜合.