Question

11．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，線段B₁D₁上有兩個動點E，F且EF=$\frac{1}{2}$，則下列結論中正確的有（2）（3）．
（1）AC⊥AE；
（2）EF∥平面ABCD；
（3）三棱錐A-BEF的體積為定值：
（4）異面直線AE，BF所成的角為定值．

Answer 1

分析 由線面垂直證得兩線垂直判斷（1）；
由線面平行的定義證得線面平行判斷（2）；
由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷（3）；
由兩個極端位置說明兩異面直線所成的角不是定值判斷（4）．

解答 解：對于（1），由題意及圖形知，AC⊥AE，故（1）不正確；
對于（2），由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點，故有EF∥平面ABCD，故正確；
對于（3），由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD₁B₁B，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，故正確；
對于（4），由圖知，當F與B₁重合時，與當E與D₁重合時，異面直線AE、BF所成的角不相等，故不為定值，故錯誤．
∴正確命題的序號是（2）（3）．
故答案為（2）（3）．

點評 本題考查棱柱的結構特征，解答本題關鍵是正確理解正方體的幾何性質，且能根據這些幾何特征，對其中的點線面和位置關系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的關鍵，是中檔題．