Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為（1，0），離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點P（0，3）的直線m與C交于A、B兩點，若A是PB的中點，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：c=1，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）由設其方程為y=kx+3，A是PB的中點，x₁=$\frac{{x}_{2}}{2}$，①y₁=$\frac{{y}_{2}+3}{2}$，②代入橢圓方程，即可求得B點坐標，求得直線m的斜率為-$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$，求得直線m的方程，直線m的斜率不存在，則可得A點的坐標為（0，$\sqrt{3}$），B點的坐標為（0，-$\sqrt{3}$），顯然不存在．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，右焦點為（1，0），則c=1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2，b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（4分）
（2）若直線m的斜率存在，設其方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A是PB的中點，x₁=$\frac{{x}_{2}}{2}$，①y₁=$\frac{{y}_{2}+3}{2}$，②
又，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$③
$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$，④…（7分）
聯立①，②，③，④解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
即點B的坐標為（2，0）或（-2，0），
∴直線m的斜率為-$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$，
則直線m的方程為y=-$\frac{3}{2}$x+3或y=$\frac{3}{2}$x+3．…（10分）
若直線m的斜率不存在，則可得A點的坐標為（0，$\sqrt{3}$），B點的坐標為（0，-$\sqrt{3}$），
顯然不滿足條件，故此時方程不存在．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系，考查了學生的計算能力，考查韋達定理，中點坐標公式的應用，屬于中檔題．