Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，圓的參數方程為為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為.

（1）求圓的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）設直線與軸，軸分別交于兩點，點是圓上任一點，求兩點的極坐標和面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ,；（2）,.

【解析】

試題分析：（1）把曲線的參數方程移項，根據同角三角函數的基本關系消去參數即可求得圓的普通方程，利用兩角和的余弦公式展開，由即可得到直線的直角坐標方程；（2）軸負半軸上的點對應的極角為，軸正半軸上的點對應的極角為，由此可得兩點的極坐標，由直線的參數方程得到點的參數表達式，由點到直線的距離公式及三角恒等變換得到面積的表達式，即可求得最值.

試題解析：（1）由消去參數，得，

所以圓的普通方程為.

由，得，

所以直線的直角坐標方程為.

（2）直線與軸，軸的交點為，化為極坐標為，

設點的坐標為，則點到直線的距離為

，

∴，又，

所以面積的最小值是.