Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面 ABCD為矩形，側(cè)面為正三角形，且平面平面 E 為 PD 中點(diǎn)，AD=2.

(1)證明平面AEC丄平面PCD;

(2)若二面角的平面角滿足，求四棱錐 的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

(1)要證平面平面，可證平面即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的法向量，平面的法向量，從而利用向量數(shù)量積公式求得長(zhǎng)度，于是可求得體積.

（1）取中點(diǎn)為， 中點(diǎn)為F，

由側(cè)面為正三角形，且平面平面知平面，故，

又，則平面，所以，

又，則，又是中點(diǎn)，則，

由線面垂直的判定定理知平面，

又平面，故平面平面.

（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

令，則.

由（1）知為平面的法向量，

令為平面的法向量，

由于均與垂直，故即解得

故，由，解得.

故四棱錐的體積.