Question

在雙曲線=－1的一支上有不同的三點A(x₁,y₁),B(x₂,6),C(x₃,y₃),與焦點F(0,5)的距離成等差數(shù)列.

(1)求y₁+y₃的值;

(2)求證:線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點,并求出定點坐標(biāo).

Answer 1

(1)解:∵=e,∴|PF|=ey－a.

又A、B、C到F的距離成等差數(shù)列,

∴2(ey₂－a)=(ey₁－a)+(ey₃－a).

∴y₁+y₃=2y₂=12.

(2)證明:由題意,得

①－②,得(y₁－y₃)(y₁+y₃)－(x₁－x₃)(x₁+x₃)=0.

∴.

若x₁+x₃=0,則k_AC=0,y₁=y₃=y₂=6,A、B、C三點共線,這是不可能的.

∴x₁+x₃≠0.則AC的中垂線方程為

y－6=－(x－),即y=－.

因此,AC的中垂線過定點(0,).