Question

10．已知函數f（x）=9^x-2a•3^x+3：
（1）若a=1，x∈[0，1]時，求f（x）的值域；
（2）當x∈[-1，1]時，求f（x）的最小值h（a）；
（3）是否存在實數m、n，同時滿足下列條件：①n＞m＞3；②當h（a）的定義域為[m，n]時，其值域為[m²，n²]，若存在，求出m、n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設t=3^x，則φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，φ（t）的對稱軸為t=a，當a=1時，即可求出f（x）的值域；
（2）由函數φ（t）的對稱軸為t=a，分類討論當a＜$\frac{1}{3}$時，當$\frac{1}{3}$≤a≤3時，當a＞3時，求出最小值，則h（a）的表達式可求；
（3）假設滿足題意的m，n存在，函數h（a）在（3，+∞）上是減函數，求出h（a）的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結論．

解答 解：（1）∵函數f（x）=9^x-2a•3^x+3，
設t=3^x，t∈[1，3]，
則φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，對稱軸為t=a．
當a=1時，φ（t）=（t-1）²+2在[1，3]遞增，
∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，
∴函數f（x）的值域是：[2，6]；
（Ⅱ）∵函數φ（t）的對稱軸為t=a，
當x∈[-1，1]時，t∈[$\frac{1}{3}$，3]，
當a＜$\frac{1}{3}$時，y_min=h（a）=φ（$\frac{1}{3}$）=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$；
當$\frac{1}{3}$≤a≤3時，y_min=h（a）=φ（a）=3-a²；
當a＞3時，y_min=h（a）=φ（3）=12-6a．
故h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}，a＜\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}≤a≤3}\\{12-6a，a＞3}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）假設滿足題意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12-6a，
∴函數h（a）在（3，+∞）上是減函數．
又∵h（a）的定義域為[m，n]，值域為[m²，n²]，
則$\left\{\begin{array}{l}{12-6m={n}^{2}}\\{12-6n={m}^{2}}\end{array}\right.$，
兩式相減得6（n-m）=（n-m）•（m+n），
又∵n＞m＞3，∴m-n≠0，∴m+n=6，與n＞m＞3矛盾．
∴滿足題意的m，n不存在．

點評 本題主要考查二次函數的值域問題，二次函數在特定區間上的值域問題一般結合圖象和單調性處理，是中檔題．