Question

設函數．

（Ⅰ）當時，判斷函數的零點的個數，并且說明理由；

（Ⅱ）若對所有，都有，求正數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，的定義域是

        求導，得 

所以，在上為減函數，在上為增函數，.

又根據在上為減函數，則在上恰有一個零點；

又，則，所以在上恰有一個零點，

再根據在上為增函數，在上恰有一個零點.

綜上所述，函數的零點的個數為2. 

（Ⅱ）令，

求導，再令  ，則   

（ⅰ）若，當時，，故在上為減函數，

所以當時，，即，則在上為減函數，

所以當時，,即成立；

（ⅱ）若， 方程的解為，

則當時，，故在上為增函數，

所以時，，即，則在上為增函數，

所以當時，, 即成立，此時不合題意.

綜上，滿足條件的正數的取值范圍是．

【解析】略