Question

5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． $\frac{{32\sqrt{3}}}{27}π$
• C． $\frac{{28\sqrt{3}}}{27}π$
• D． $\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$

Answer 1

分析 根據題意，由三視圖分析可得，原幾何體為三棱柱，同時可得其上下底面為邊長以及高，設外接球的球心為O，半徑為R，由三棱柱的幾何結構分析可得R的值，代入球的體積公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，由三視圖分析可得，原幾何體為三棱柱，
如圖：其上下底面為邊長為2的正三角形，其高為2，
設外接球的球心為O，半徑為R，上下底面的中心為G′、G，
分析可得OG=1，AG=$\frac{2}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則有R=OA=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
其外接球體積V=$\frac{4π}{3}$（$\sqrt{\frac{7}{3}}$）³=$\frac{28\sqrt{21}π}{27}$；
故選：D．

點評 本題考查幾何體的三視圖，涉及球的體積計算，關鍵是由三視圖分析幾何體的形狀．