Question

15．已知函數$f（x）=2sin（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）+1$．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據正弦函數的周期性、單調性，求得函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間．
（2）由題意求得sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，再根據正弦函數的圖象，求得不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）根據函數$f（x）=2sin（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）+1$=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）+1，∴它的周期為$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得4kπ+$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{11π}{3}$，
即函數f（x）的單調遞增區間為[4kπ+$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{11π}{3}$]，k∈Z．
（2）不等式f（x）＞0，即-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）+1＞0，即sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
所以 2kπ-$\frac{7π}{6}$＜$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$＜2kπ+$\frac{π}{6}$，即4kπ-$\frac{5π}{3}$＜x＜4kπ+π，
故不等式的解集為{x|4kπ-$\frac{5π}{3}$＜x＜4kπ+π，k∈Z}．

點評 本題主要考查正弦函數的周期性、單調性，正弦函數的圖象，屬于中檔題．