Question

【題目】如圖，點F為橢圓C：(a＞b＞0)的左焦點，點A，B分別為橢圓C的右頂點和上頂點，點P(，)在橢圓C上，且滿足OP∥AB．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（點D位于x軸上方），直線AD和AE的斜率分別為和，且滿足﹣＝﹣2，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由題意可知，再將點p的坐標代入橢圓方程，可解出a，b，即得橢圓C的方程；（2）可設直線的方程為，將它代入橢圓方程消去x，得到關于y和k的等式，再用A，D兩點的坐標表示出，同理表示出，用k表示出﹣＝﹣2，解出k，又知道直線l上的點，即可求出直線l的方程。

解：（1）由在橢圓上得； ①

由為的右頂點為的上頂點可知，．

因∥，所以，則； ②

聯立①②得方程組解得故所求橢圓的方程為．

（2）（法一）因橢圓的方程為，所以，．

因直線的斜率不為0，可設直線的方程為，設，，

聯立方程組消去得，

解得，故，，．

因，則，則，即，

化簡得，故，

所以直線的方程為，即.

（法二）因橢圓的方程為，所以，．

當直線的斜率不存在時．

當直線的斜率存在時，設的方程為，設，，

聯立方程組消去得，

解得，故，，．

因，則，由得

，即，

，，

化簡得，解得，

所以直線的方程為，即．