Question

【題目】設，函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若無零點，求a的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點、，求證：.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見證明

【解析】

（1）先求導數，根據導數幾何意義得切線斜率，再根據點斜式得結果，（2）先求導數，再根據導函數零點討論函數單調性，根據單調性確定函數最大值，最后根據最大值小于零得結果.（3）根據零點解得，化簡欲證不等式，再令，構造關于t的函數，利用導數證不等式.

解：（1）當時，，所以.

，

則切線方程為，即

（2）①當時，有唯一零點；

②當時，則，是區間上的增函數，

因為，，

所以，即函數在區間有唯一零點；

③當時，令得，

所以，當時，，函數在區間上是增函數；

且；

當時，，函數是在上是減函數，

且；

所以在區間上，函數的極大值為，

由，即，解得，

故所求實數的取值范圍是.

（3）設，由，，可得，，. 所以

要證，只需證,

即證，即.

令，于是，

設函數，求導得，

所以函數是上的增函數，

所以，即不等式成立，

故所證不等式成立.