Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛 /千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛 /千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛 /千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度x的一次函數.

（1）當時，求函數的表達式；

（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值. （精確到1輛/小時）.

 

Answer 1

【答案】

（1）v(x)=； 

當x=100時，f(x)在區間[0, 200]上的最大值為≈3333，

【解析】（1）當當設由解得.寫出時，函數的表達式；是一個分段函數；

（2）在（1）的條件下，求出f(x)=，分段求出函數f(x)的最大值，比較得最大值和對應的x的值.

（1）由題意：當0≤x≤20時，v(x)=60；……………………2分

當20≤x≤200時，v(x)= a x + b；

再由已知得：，解得，……………………6分

故函數v(x)的解析式為

v(x)=；         …………………8分

（2）依題意并由（1）可得：

f(x)=，    ………………10分

當0≤x≤20時，f(x)為增函數，故當x=20時，其最大值為60×20=1200；

當20≤x≤200時，f(x)=，……………12分

當且僅當，即x=100時，等號成立.因為，……………14分

所以，當x=100時，f(x)在區間[0, 200]上的最大值為≈3333，

答：當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.