Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（Ⅰ）當0≤x≤200時，求函數v（x）的表達式；
（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．

Answer 1

分析：（I）根據題意，函數v（x）表達式為分段函數的形式，關鍵在于求函數v（x）在20≤x≤200時的表達式，根據一次函數表達式的形式，用待定系數法可求得；
（II）先在區間（0，20]上，函數f（x）為增函數，得最大值為f（20）=1200，然后在區間[20，200]上用基本不等式求出函數f（x）的最大值，用基本不等式取等號的條件求出相應的x值，兩個區間內較大的最大值即為函數在區間（0，200]上的最大值．

解答：解：（I） 由題意：當0≤x≤20時，v（x）=60；當20＜x≤200時，設v（x）=ax+b
再由已知得

200a+b=0 20a+b=60

，解得

a=- 1 3 b= 200 3

故函數v（x）的表達式為v(x)=

60 0≤x＜20 1 3 (200-x) 20≤x≤200

（II）依題并由（I）可得f(x)=

60x 0≤x＜20 1 3 x(200-x) 20≤x≤200

當0≤x＜20時，f（x）為增函數，故當x=20時，其最大值為60×20=1200
當20≤x≤200時，f(x)=

1

3

x(200-x)≤

1

3

[

x+(200-x)

2

]2=

10000

3

當且僅當x=200-x，即x=100時，等號成立．
所以，當x=100時，f（x）在區間（20，200]上取得最大值

10000

3

．
綜上所述，當x=100時，f（x）在區間[0，200]上取得最大值為

10000

3

≈3333，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．
答：（I） 函數v（x）的表達式v(x)=

60 0≤x≤20 1 3 (200-x) 20＜x≤200

（II） 當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．

點評：本題主要考查函數、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力，屬于中等題．