Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米,/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度的一次函數.

(Ⅰ)當時，求函數的表達式；

(Ⅱ)當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時）

Answer 1

本小題主要考查函數，最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力.

解析：

（1）由題意：當時，；當時，設

　　 再由已知得解得

　　 故函數v(x)的表達式為

（2）依題意并由（1）可得，

　　 當時，為增函數.故當x=20時，其最大值為60×20=1200；

　　 當時，

　　 當且僅當，即時，等號成立.

　　 所以，當時，在區間[20，200]上取得最大值.

　　 綜上，當時，在區間[0，200]上取得最大值.

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.