Question

19．過點（0，1）的直線l被圓（x-1）²+y²=4所截得的弦長最短時，直線l的方程為x-y+1=0．

Answer 1

分析 設A（0，1），求出圓心C的坐標為（1，2），從而得到AC的斜率．由圓的性質，得當直線被圓截得弦長最短時，直線與經過A點的直徑垂直，由此算出直線的斜率，即可得到所求直線的方程．

解答 解：∵圓（x-1）²+y²=4的圓心為C（1，0），
∴設A（0，1），得AC的斜率k_AC=$\frac{0-1}{1-0}$=-1，
∵直線l經過點A（0，1），且l被圓（x-1）²+y²=4截得的弦長最短
∴直線l與經過點A（0，1）的直徑垂直的直線
由此可得，直線l的斜率為k=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=1，
因此，直線l方程為y-1=x-0，即x-y+1=0
故答案為：x-y+1=0．

點評 本題考查直線的方程，著重考查了直線的基本量與方程、圓的方程和直線與圓的位置關系及兩條直線垂直的充要條件等知識，屬于基礎題．