Question

環保刻不容緩，或許人類最后一滴水將是自己的淚水．某地水資源極為緊張，且受工業污染嚴重，預計20年后該地將無潔凈的水可用．當地決定重新選址建設新城區，同時對舊城區進行拆除．已知舊城區的住房總面積為64am²，每年拆除的數量相同；新城區計劃第一年建設住房面積am²，前四年每年以100%的增長率建設新住房，從第五年開始，每年都比上一年增加am²．設第n（n≥1，且n∈N））年新城區的住房總面積為a_nm²，該地的住房總面積為b_nm²．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若每年拆除4am²，比較a_n+1與b_n的大小．

Answer 1

解：（1）設第n年新城區的住房建設面積為λ_nm²，則當1≤n≤4時，λ_n=2^n-1a；…（1分）
當n≥5時，λ_n=（n+4）a．
所以，當1≤n≤4時，a_n=（2ⁿ-1）a
當n≥5時，a_n=a+2a+4a+8a+9a+…+n（n+4）a=a
∴a_n=
（2）當1≤n≤3時，a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a，b_n=（2ⁿ-1）a+64a-4na，顯然有a_n+1＜b_n．
當n=4 時，a_n+1=a₅=24a，b_n=b₄=63a，此時a_n+1＜b_n．
當5≤n≤16時，a_n+1=，b_n=
∵a_n+1-b_n=（5n-59）a．
∴當5≤n≤11時，a_n+1＜b_n；當12≤n≤16時，a_n+1＞b_n．
當n≥17時，顯然a_n+1＞b_n
故當1≤n≤11時，a_n+1＜b_n；當 n≥12時，a_n+1＞b_n．
分析：（1）分1≤n≤4時和n≥5時兩種情況加以討論并結合等差、等比數列的通項公式，分別求出第n年新城區的住房建設面積為λ_n關于n、a的表達式，再利用等差、等比數列的求和公式即可求出{a_n}的通項公式關于n的分段形式的表達式；
（2）根據1≤n≤3、n=4 和5≤n≤11時a_n+1和b_n的表達式，結合作差法比較不等式大小，可得a_n+1＜b_n；而當 n≥12時可得a_n+1-b_n=（5n-59）a＞0，從而得到a_n+1＞b_n，最后加以綜合即可得到a_n+1與b_n的大小的兩種情況．
點評：本題給出數列的實際應用題，求{a_n}的通項公式并比較a_n+1和b_n的大小．著重考查了等差、等比數列的通項公式與求和公式，以及不等式比較大小等知識，屬于中檔題．