Question

已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為，x軸被拋物線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）設C₂與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l：y=kx與C₂相交于A，B兩點，直線MA，MB分別與C₁相交于D，E．
①證明：•為定值；
②記△MDE的面積為S，試把S表示成k的函數，并求S的最大值．

Answer 1

解：（1）由已知，
又a²=b²+c²，可解得a=2b ①
在y=x²-b中，令y=0，得
∴②
由①②得，a=2，b=1
∴，
（2）①證明：由得x²-kx-1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
∵M（0，-1），
∴=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=
∴MA⊥MB
∴MD⊥ME
∴•=0
②解：設A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂）
∵A在y=x²-1上，
∴
即∴，
∴，
∴直線AM方程為：y=x₁x-1代入，得，
∴，同理
∴
令
∴
又在t∈[2，+∞）時，u為增函數，
∴，此時t=2
∴k=0時，
分析：（1）由已知，根據a²=b²+c²，可得a=2b，又x軸被拋物線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長．
，從而可求得a=2，b=1，故可求C₁，C₂的方程；
（2）①由得x²-kx-1=0，從而可證明MA⊥MB，所以MD⊥ME，故•=0
②設A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），可求得直線AM、BM的方程，分別代入，從而求得D，E的坐標，進而可得面積，令，從而，借助于函數的單調性可求S的最大值．
點評：本題以橢圓的性質為載體，考查曲線方程的求解，考查利用向量的知識證明向量的垂直，同時考查函數最值的求法，應注意基本不等式的使用條件，否則會做錯．