Question

已知橢圓C₁：=1 （a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-=1 有公共的焦點，C₂的一條漸近線與以C₁的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C₁恰好將線段AB三等分，則（ ）
A．a²=
B．a²=3
C．^_b2=
D．^_b2=2

Answer 1

【答案】分析：先由雙曲線方程確定一條漸近線方程為y=2x，根據對稱性易AB為圓的直徑且AB=2a，利用橢圓與雙曲線有公共的焦點，得方程a²-b²=5；設C₁與y=2x在第一象限的交點的坐標為（x，2x），代入C₁的方程得：；對稱性知直線y=2x被C₁截得的弦長=2x，根據C₁恰好將線段AB三等分得：2x=，從而可解出a²，b²的值，故可得結論
解答：解：由題意，C₂的焦點為（±，0），一條漸近線方程為y=2x，根據對稱性易AB為圓的直徑且AB=2a
∴C₁的半焦距c=，于是得a²-b²=5   ①
設C₁與y=2x在第一象限的交點的坐標為（x，2x），代入C₁的方程得：②，
由對稱性知直線y=2x被C₁截得的弦長=2x，
由題得：2x=，所以    ③
由②③得a²=11b²  ④
由①④得a²=5.5，b²=0.5  
故選C
點評：本題以橢圓，雙曲線為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題思路清晰，但計算有點煩瑣，需要小心謹慎．