Question

5．當正數a，b，滿足$\frac{4}{a+5b}+\frac{1}{3a+2b}=6$時，則4a+7b的最小值$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知：4a+7b=$\frac{1}{6}$（4a+7b）×（$\frac{4}{a+5b}$+$\frac{1}{3a+2b}$）=$\frac{1}{6}$[（a+5b）+（3a+2b）]×（$\frac{4}{a+5b}$+$\frac{1}{3a+2b}$），利用基本不等式的性質，即可求得4a+7b的最小值．

解答 解：由$\frac{4}{a+5b}+\frac{1}{3a+2b}=6$，則4a+7b=$\frac{1}{6}$（4a+7b）×（$\frac{4}{a+5b}$+$\frac{1}{3a+2b}$），
=$\frac{1}{6}$[（a+5b）+（3a+2b）]×（$\frac{4}{a+5b}$+$\frac{1}{3a+2b}$），
=$\frac{1}{6}$（4+1+$\frac{a+5b}{3a+2b}$+$\frac{4（3a+2b）}{a+5b}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{a+5b}{3a+2b}×\frac{4（3a+2b）}{a+5b}}$）=$\frac{3}{2}$，
當且僅當$\frac{a+5b}{3a+2b}$=$\frac{4（3a+2b）}{a+5b}$，則a=$\frac{1}{26}$，b=$\frac{5}{26}$時取等號，
∴4a+7b的最小值$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查基本不等式的應用，考查轉化思想，屬于基礎題．