Question

18．設銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，$B=\frac{π}{6}$．求cosA+sinC取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得A+C=$\frac{5π}{6}$，$\frac{2π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$．化簡cosA+sinC為$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得cosA+sinC取值范圍．

解答 解：設銳角三角形ABC中，∵$B=\frac{π}{6}$，∴A+C=$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$．
又 cosA+sinC=cosA+sin（$\frac{5π}{6}$-A）=cosA+sin$\frac{5π}{6}$cosA-cos$\frac{5π}{6}$sinA
=$\frac{3}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），
∵sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，∴$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，
故cosA+sinC取值范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查兩角和差的三角公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．