【題目】在多面體
中，底面
是梯形，四邊形
是正方形，
，
，面
面，
.
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）設
為線段
上一點，
，試問在線段
上是否存在一點
，使得
平面
，若存在，試指出點的位置；若不存在，說明理由?
（3）在（2）的條件下，求點
到平面
的距離.
【答案】（1）見解析.（2）見解析.（3）
.
【解析】分析：（1）在梯形
中，過點作
作
于
，可得
，所以
，由面
面
，可得出
，利用線面垂直的判定定理得
平面
,進而可得平面
平面；（2）在線段
上取點
，使得
，連接
，先證明
與
相似，于是得
，由線面平行的判定定理可得結果；（3）點
到平面
的距離就是點到平面
的距離，設到平面的距離為
，利用體積相等可得，
，解得
.
詳解：（1）因為面面，面
面
，
，所以
面，.
故四邊形
是正方形，所以
.
在
中，
，∴
.
，
∴
，∴∴.
因為
，
平面，
平面.
∴平面,
平面，∴平面平面.
（2）在線段上存在點，使得
平面
在線段上取點，使得，連接.
在
中，因為
，所以與相似，所以
又
平面，
平面，所以平面.
（3）點到平面的距離就是點到平面的距離，設到平面的距離為，利用同角相等可得，，可得.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某社區為了解居民參加體育鍛煉的情況，從該社區隨機抽取了18名男性居民和12名女性居民，對他們參加體育鍛煉的情況進行問卷調查.現按是否參加體育鍛煉將居民分成兩類：甲類（不參加體育鍛煉）、乙類（參加體育鍛煉），結果如下表：
甲類 | 乙類 | |
男性居民 | 3 | 15 |
女性居民 | 6 | 6 |
（Ⅰ）根據上表中的統計數據，完成下面的
列聯表；
男性居民 | 女性居民 | 總計 | |
不參加體育鍛煉 | |||
參加體育鍛煉 | |||
總計 |
（Ⅱ）通過計算判斷是否有90%的把握認為參加體育鍛煉與否與性別有關？
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.01 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某糕點房推出一類新品蛋糕，該蛋糕的成本價為4元，售價為8元．受保質期的影響，當天沒有銷售完的部分只能銷毀．經過長期的調研，統計了一下該新品的日需求量．現將近期一個月（30天）的需求量展示如下：
日需求量x（個） | 20 | 30 | 40 | 50 |
天數 | 5 | 10 | 10 | 5 |
（1）從這30天中任取兩天，求兩天的日需求量均為40個的概率．
（2）以上表中的頻率作為概率，列出日需求量
的分布列，并求該月的日需求量的期望．
（3）根據（2）中的分布列求得當該糕點房一天制作35個該類蛋糕時，對應的利潤的期望值為
；現有員工建議擴大生產一天45個，求利用利潤的期望值判斷此建議該不該被采納．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，長度為3的線段
的端點
、
分別在
，
軸上滑動，點
在線段上，且
，
（1）若點的軌跡為曲線
，求其方程；
（2）過點
的直線
與曲線交于不同兩點
、
，
是曲線上不同于、的動點，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
(
為參數)。在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
。
（1）寫出曲線，
的普通方程；
（2）過曲線的左焦點且傾斜角為
的直線
交曲線于
兩點，求
。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點
是圓心為
半徑為
的半圓弧上從點
數起的第一個三等分點，點
是圓心為
半徑為
的半圓弧的中點，
、
分別是兩個半圓的直徑，
，直線
與兩個半圓所在的平面均垂直，直線、
共面.
（1）求三棱錐
的體積；
（2）求直線
與
所成角的余弦值.
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