Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）是否存在，使得在區間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) 或.

【解析】

(1)先求的導數，再根據的范圍分情況討論函數單調性；(2) 根據的各種范圍，利用函數單調性進行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.

(1)對求導得.所以有

當時，區間上單調遞增，區間上單調遞減，區間上單調遞增；

當時，區間上單調遞增；

當時，區間上單調遞增，區間上單調遞減，區間上單調遞增.

(2)若在區間有最大值1和最小值-1，所以

若，區間上單調遞增，區間上單調遞減，區間上單調遞增；

此時在區間上單調遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.

若，區間上單調遞增；在區間.所以，代入解得 .

若，區間上單調遞增，區間上單調遞減，區間上單調遞增.

即在區間單調遞減，在區間單調遞增，所以區間上最小值為

而，故所以區間上最大值為.

即相減得，即，又因為，所以無解.

若，區間上單調遞增，區間上單調遞減，區間上單調遞增.

即在區間單調遞減，在區間單調遞增，所以區間上最小值為

而，故所以區間上最大值為.

即相減得，解得，又因為，所以無解.

若，區間上單調遞增，區間上單調遞減，區間上單調遞增.

所以有區間上單調遞減，所以區間上最大值為，最小值為

即解得.

綜上得或.