【題目】如圖，直三棱柱
的所有棱長相等，
為
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）當
是
的中點時，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）設三棱柱的棱長為2，
為
的中點，連結
，易證
平面
，取
的中點
，連結
，易知直線
兩兩垂直，故以為坐標原點，分別以射線
的方向為
軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，從而可證明
，
，進而可證明
平面
；
（2）結合（1），分別求出平面
、平面
的法向量，然后利用空間向量法求出二面角
的余弦值，進而可求出答案.
（1）設三棱柱的棱長為2，為的中點，連結，易知
，又平面
平面，所以平面，取的中點，連結，易知直線兩兩垂直，故以為坐標原點，分別以射線的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
則
，
，
，
因為
，
，所以，，即
，
，又
，所以平面.
（2）由（1）知，
，
，
，
則
，
，設平面的法向量為
，
則
，即
，令
，可得
，
，可得平面的一個法向量
，
平面的一個法向量為
，
設二面角的大小為
，則
，
則
.
星級口算天天練系列答案
芒果教輔達標測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
為等邊三角形，邊長為2，
為等腰直角三角形，
，
，
，平面
平面ABCD.
(1)證明：
平面PAD；
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；
(3)棱PD上是否存在一點E，使得
平面PBC？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心為原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
，且橢圓C的長軸是圓
的一條直徑.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若不過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與圓M交于P、Q兩點，且直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
（
為自然對數的底）。
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若存在均屬于區間
的
，
，且
，使
，證明：
；
（Ⅲ）對于函數與
定義域內的任意實數
，若存在常數
，
，使得
和
都成立，則稱直線
為函數與的分界線。試探究當
時，函數與是否存在“分界線”？若存在，請給予證明，并求出，的值；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】西湖小學為了豐富學生的課余生活開設課后少年宮活動，其中面向二年級的學生共開設了三門課外活動課：七巧板、健美操、剪紙.203班有包括奔奔、果果在內的5位同學報名參加了少年宮活動，每位同學只能挑選一門課外活動課，已知每門課都有人選，則奔奔和果果選擇了同一個課外活動課的選課方法種數為（ ）
A.18B.36C.72D.144
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
，
，直線
、
相交于點
，且它們的斜率之積為
，記動點的軌跡為曲線
。
（1）求曲線的方程；
（2）過點
的直線與曲線交于
、
兩點，是否存在定點
，使得直線
與
斜率之積為定值，若存在，求出
坐標；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三角形
中，
，
，平面與半圓弧
所在的平面垂直，點
為半圓弧上異于
的動點，
為
的中點.
（1）求證：
；
（2）當三棱錐
體積最大時，求銳二面角
的余弦值.
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