【題目】如圖，在四棱錐
中，
為等邊三角形，邊長為2，
為等腰直角三角形，
，
，
，平面
平面ABCD.
(1)證明：
平面PAD；
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；
(3)棱PD上是否存在一點E，使得
平面PBC？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）
；（3）棱PD上存在一點E，使得
平面PBC，且
.
【解析】
（1）用面面垂直的性質定理證明線面垂直；
（2）取
的中點
，連接
，得
平面
，以
為
軸，
為
軸，過
平行于的直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，用平面的法向量的夾角求二面角；
（3）假設棱PD上存在一點E，使得平面PBC，設
，由
與平面
的法向量垂直求得
，如果求不出，說明不存在.
（1）∵平面
平面ABCD，
，平面
平面ABCD
，
平面ABCD，∴
平面
；
（2）取的中點，連接，由于
是等邊三角形，所以
，由平面平面ABCD，得平面，
，
以為軸，為軸，過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
，設平面
的一個法向量為
，
則
，取
，則
，
，
，
平面
的一個法向量為
，
，
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為；
（3）假設棱PD上存在一點E，使得平面PBC，設
，
由（2）
，
，
，又平面的一個法向量是，
∴
，解得
，∴.
∴棱PD上存在一點E，使得平面PBC，且.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區仍然存在封建傳統思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現隨機抽取某地200戶家庭進行調查統計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數為60.
（1）完成下列
列聯表，并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關；
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數
的分布列及數學期望.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從拋物線
上任意一點P向x軸作垂線段，垂足為Q，點M是線段
上的一點，且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程；
(2)設直線
與軌跡c交于
兩點，T為C上異于的任意一點，直線
，
分別與直線
交于
兩點，以
為直徑的圓是否過x軸上的定點？若過定點，求出符合條件的定點坐標；若不過定點，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的右頂點為
，上頂點為
.已知橢圓的離心率為
，
.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設直線
：
與橢圓交于
，
兩點，且點在第二象限.與
延長線交于點
，若
的面積是
面積的3倍，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過拋物線
的焦點為F且斜率為k的直線l交曲線C于
、
兩點，交圓
于M，N兩點（A，M兩點相鄰）．
（1）求證：
為定值；
（2）過A，B兩點分別作曲線C的切線
，
，兩切線交于點P，求
與
面積之積的最小值．
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