Question

【題目】已知函數，（為自然對數的底）。

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若存在均屬于區間的，，且，使，證明：；

（Ⅲ）對于函數與定義域內的任意實數，若存在常數，，使得和都成立，則稱直線為函數與的分界線。試探究當時，函數與是否存在“分界線”？若存在，請給予證明，并求出，的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意首先求得導函數的解析式，然后分類討論確定函數的單調性即可；

(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的結論首先確定的范圍，然后結合函數的解析式和函數的單調性即可證得題中的不等式；

(Ⅲ)首先求得函數的最小值，然后結合題意猜出k,e的值并進行證明即可.

（Ⅰ）函數的定義域為，

且

當時，，則函數在上單調遞增；

當時，，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減．

（Ⅱ），由（1）知，

又，，所以，

∴，即，

所以．

（Ⅲ）設，

則

則當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增．

∴是函數的極小值點，也是最小值點，

∴．

∴函數與的圖象在處有公共點．

設與存在“分界線”且方程為，

令函數

①由，得在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，即，

∴，故．

②下面說明：，即恒成立．

設，則

∵當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

∴當時，取得最大值0，．

∴成立．

綜合①②知，且，

故函數與存在“分界線”，

此時，．