Question

【題目】設函數 的定義域是R，對于任意實數 ，恒有，且當 時， 。

（1）求證： ，且當 時，有 ；

（2）判斷 在R上的單調性；

（3）設集合A＝，B＝，若A∩B＝，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）;（2） 在R上單調遞減;（3）

【解析】試題分析：（1）利用賦值法證明， ，且當時， ，利用賦值法，只需令，即可證明當時，有；（2）利用函數的單調性的定義判斷，只需設上，且，再作差比較與的大小即可；（3）先判斷集合分別表示什么集合，兩個集合都是點集， 表示圓心在，半徑是的圓的內部， 表示直線,， 直線與圓內部沒有交點，直線與圓相離或相切，再據此求出參數的范圍.

試題解析：(1)由f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0，

則f(1)=f(1)f(0)，且由x>0時，0<f(x)<1，∴f(0)=1；

設m=x<0，n=－x>0，∴f(0)=f(x)f(－x)，∴

(2)由（1）及已知,對任意實數x都有f(x)>0，

設x1<x2，則x2－x1>0， ，

∴

，

∴f(x)在R上單調遞減。

（3） ，由f(x)單調性知 ，

又 ，

又A∩B＝， 無解，即， 無解，

從而．