Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，其中且．設．

（）若，，，求方程在區間內的解集．

（）若函數滿足：圖象關于點對稱，在處取得最小值，試確定、和應滿足的與之等價的條件．

Answer 1

【答案】（1）解集為；（2）見解析.

【解析】分析：（）由平面向量數量積公式、結合輔助角公式可得，令，從而可得結果；（）“圖象關于點對稱，且在處取得最小值”．因此，根據三角函數的圖象特征可以知道，，故有，

∴，，當且僅當，時，的圖象關于點對稱；此時，，對討論兩種情況可得使得函數滿足“圖象關于點對稱，且在處取得最小值的充要條件”是“，時，，；或當時，，”.

詳解：（）根據題意，

當，，時，

，，

則有或，．

即或，．

又因為，故在內的解集為．

（）解：因為，設周期．

因為函數須滿足“圖象關于點對稱，且在處取得最小值”．

因此，根據三角函數的圖象特征可以知道，，

故有，

∴，，

又因為，形如的函數的圖象的對稱中心都是的零點，

故需滿足，而當，時，

因為，；

所以當且僅當，時，

的圖象關于點對稱；

此時，，

∴，．

（i）當，時，，進一步要使處取得最小值，

則有，

∴，故，．

又，則有，，

因此，由可得，．

（ii）當時，，進一步要使處取得最小值，

則有；

又，則有，．

因此，由，可得，．

綜上，使得函數滿足“圖象關于點對稱，且在處取得最小值的充要條件”是“，時，，；或當時，，”．