Question

【題目】設是定義在上的偶函數，的圖象與的圖象關于直線對稱，且當時，．

（）求的解析式．

（）若在上為增函數，求的取值范圍．

（）是否存在正整數，使的圖象的最高點落在直線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】分析：（）當時，，；

當時，，從而可得結果；（）由題設知，對恒成立，即對恒成立，于是，，從而；（）因為為偶函數，故只需研究函數在的最大值，利用導數研究函數的單調性，討論兩種情況，即可篩選出符合題意的正整數.

詳解：（）當時，，

；

當時，，

∴，

（）由題設知，對恒成立，

即對恒成立，

于是，，

從而．

（）因為為偶函數，故只需研究函數在的最大值．

令，

計算得出．

（）若，即，

，

故此時不存在符合題意的．

（）若，即，

則在上為增函數，

于是．

令，故．

綜上，存在滿足題設．