Question

6．我國南宋著名數學家秦九韶在《數學九章》的“田域類”中寫道：問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為田幾何．意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13，14，15里，求三角形沙田的面積．請問此田面積為84平方里．

Answer 1

分析 由題意畫出圖象，并求出AB、BC、AC的長，由余弦定理求出cosB，由平方關系求出sinB的值，代入三角形的面積公式求出該沙田的面積．

解答 解：由題意畫出圖象：
且AB=13里，BC=14里，AC=15里，
在△ABC中，由余弦定理得，
cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{1{3}^{2}+1{4}^{2}-1{5}^{2}}{2×13×14}$=$\frac{5}{13}$，
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，
則該沙田的面積：即△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×13×14×\frac{12}{13}$=84．
故答案為：84．

點評 本題考查了余弦定理，以及三角形面積公式的實際應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．