Question

設平面區域D是由雙曲線x²-

y2

4

=1的兩條漸近線和直線6x-y-8=0所圍成三角形的邊界及內部．當（x，y）∈D時，x²+y²+2x的最大值為

24

．

Answer 1

分析：由題意平面區域D是由雙曲線 x2-

y2

4

=1的兩條漸近線和直線6x-y-8=0所圍成三角形的邊界及內部，所以先由題意找到平面區域D，對于x²+y²+2x=z?（x+1）²+y²=z+1此式可以看成圓心為頂點（-1，0），圓的半徑隨z的變化而變化同心圓系，畫出圖形求解即可．

解答：解：有平面區域D是由雙曲線 x2-

y2

4

=1的兩條漸近線和直線6x-y-8=0所圍成三角形的邊界及內部，所以得到區域為：
由于目標函數為：x²+y²+2x=z?（x+1）²+y²=z+1此式可以看成圓心為頂點（-1，0），圓的半徑隨z的變化而變化同心圓系，畫圖可知：當此圓系過點（2，4）時，使得圓的半徑的平方最大，即z_max=（2+1）²+4²-1=24．
故答案為24．

點評：此題考查了雙曲線的漸進性方程，線性規劃求最值時目標函數的幾何含義及學生用圖的能力．