Question

已知O為坐標原點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

x2

m

+

y2

4

=1（m＞4）上任意兩點，已知向量

p

=（

x1

m

，

y1

2

），

q

=（

x2

m

，

y2

2

），若

p

•

q

的夾角為

π

2

且橢圓的離心率e=

3

2

．
（1）若直線AB過橢圓的焦點F（c，0）（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（2）△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由已知條件推導出b=2，結合e=

3

2

和隱含條件即可求出橢圓C的標準方程；
（2）由已知條件推導出x₁x₂+4y₁y₂=0，當直線斜率存在時，設直線AB方程為：y=kx+m，聯立直線方程和橢圓方程，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出三角形AOB的面積為定值4．
當直線斜率不存在時設直線AB方程為：x=t，（-4＜t＜4），結合橢圓方程求出t的值，求得三角形AOB的面積為定值4．

解答： 解：（1）由橢圓

x2

m

+

y2

4

=1（m＞4），得b=2，
∵e=

c

a

=

3

2

，
∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

3

4

，則a²=16，即m=16．
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
則

p

=（

x1

m

，

y1

2

）=(

x1

4

，

y1

2

)，

q

=（

x2

m

，

y2

2

）=(

x2

4

，

y2

2

)，
由

p

•

q

的夾角為

π

2

，得

p

•

q

=0，即

x1x2

16

+

y1y2

4

=0，
又橢圓的焦點F（2

3

，0），
設直線AB方程為y=k（x-2

3

），
聯立

x2 16 + y2 4 =1 y=k(x-2 3 )

，得(1+4k2)x2-16

3

k2x+48k2-16=0．
則x1+x2=

16 3 k2

1+4k2

，x1x2=

48k2-16

1+4k2

，
y1y2=k2[x1x2-2

3

(x1+x2)+12]=

-4k2

1+4k2

．
把x₁x₂，y₁y₂代入

x1x2

16

+

y1y2

4

=0，
得：

48k2-16

1+4k2

-

16k2

1+4k2

=0，解得：k=±

2

2

；
（2）當直線AB斜率存在時，
設直線AB方程為：y=kx+m，聯立

x2

16

+

y2

4

=1，
消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-16）＞0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-16

1+4k2

，
∴x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+4k²）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
即（1+4k²）•

4m2-16

1+4k2

-

32k2m2

1+4k2

+4m²=0，
化簡得m²-8k²-2=0，
S△AOB=

1

2

|-

m

k

||y1-y2|
=

1

2

|m||x₁-x₂|
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

|m|

(- 8km 1+4k2 )2-4 4m2-16 1+4k2

=

1

2

|m|

64k2m2-16m2+64-64k2m2+256k2 (1+4k2)2

=

1

2

|m|

-16m2+64+256k2 (1+4k2)2

=

1

2

|m|

16m2 ( m2 2 )2

=4．
當直線AB斜率不存在時，
設直線AB方程為：x=t，（-4＜t＜4），
聯立橢圓

x2

16

+

y2

4

=1，
解得y=±

16-t2

2

，
不妨設A（t，

16-t2

2

），B（t，-

16-t2

2

），
代入x₁x₂+4y₁y₂=0，得t=±2

2

，
此時S△AOB=

1

2

×2

2

×2

2

=4．
綜上，三角形AOB的面積為定值4．

點評：本題考查橢圓標準方程的求法，考查三角形面積是否為定值的判斷與求法，訓練了平面向量在解題時的應用，注意函數與方程思想的合理運用，考查了學生的計算能力，是壓軸題．