Question

如圖所示，ABC-A₁B₁C₁是各條棱長均為a的正三棱柱，D是側棱CC₁的中點，P是B₁B的中點，O是△ABC的中心，求證：
（1）平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）OP∥平面AB₁D．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）要證平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；只要證A₁B⊥平面ADB₁，根據直線與平面垂直的判定定理可知，只需證A₁B與平面ADB₁內兩相交直線垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥DO，A₁B∩DO=O，滿足定理所需條件．
（2）連接CO并延長交AB于Q，則Q為AB的中點，連接CP，PQ，證明PC∥B₁D，PQ∥B₁A，利用面面平行的判定定理，可得平面PQC∥平面AB₁D，即可證明OP∥平面AB₁D．

解答： 證明：（1）連A₁B，與AB₁相交于E，連接DE，過C作CF⊥AB，則F為BC中點，
∵ABC-A₁B₁C₁是各條棱長均為a的正三棱柱，D是側棱CC₁的中點，

∴Rt△ACD≌Rt△B₁C₁D，∴AD=B₁D
又E是AB₁的中點，∴AB₁⊥DE，DE∥CF，
∴DE⊥AB，
∴DE⊥平面ABB₁A₁，DE?平面ADB₁，
∴平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）連接CO并延長交AB于Q，則Q為AB的中點，連接CP，PQ，
∵點D、P為棱CC₁、BB₁的中點，
∴PC∥B₁D，PQ∥B₁A，
∵PC∩PQ=P，B₁D∩B₁A=B₁，
∴平面PQC∥平面AB₁D，
∵OP?平面PQC，
∴OP∥平面AB₁D．

點評：本題考查面面垂直的判定定理和線面平行判定定理的運用，數量運用判定定理是關鍵．