Question

1．已知點A、B、C為直線l上不同的三點，點O∉l，實數x滿足關系式x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，則下列結論中正確的個數有（　　）
①$\overrightarrow{OB}$²-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$≥0           ②$\overrightarrow{OB}$²-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$＜0
③x的值有且只有一個    ④x的值有兩個        
 ⑤點B是線段AC的中點．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用平面向量基本定理對已知向量等式變形分析由存在實數x滿足式x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，得到△≥0，得出①正確、②錯誤；
同時得到得出式$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-2x$\overrightarrow{OB}$，根據平面向量的基本定理，得出-x²-2x=1，判斷③正確、④錯誤；
由式$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），得出B是線段AC的中點，判斷⑤正確．

解答 解：對于①，由存在實數x滿足式x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，△≥0，得出①正確、②錯誤；
由式x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，得出式$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-2x$\overrightarrow{OB}$，根據平面向量的基本定理，得出-x²-2x=1，判斷③正確、④錯誤；
由式$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），得出B是線段AC的中點，判斷⑤正確．
所以正確結論為③⑤．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，也考查了一元二次方程有實數根的應用問題，是綜合性題目．