Question

【題目】設(shè)橢圓（）的左右頂點(diǎn)為，上下頂點(diǎn)為，菱形的內(nèi)切圓的半徑為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1） （2）直線、與圓相切，證明見解析

【解析】

（1）由離心率得，用兩種方法表示出菱形的面積可求得，得橢圓方程；

（2）設(shè)，.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，用韋達(dá)定理得，利用，即得的關(guān)系，求出圓心到直線的距離可得直線與圓的位置關(guān)系．直線的斜率不存在時，直接計(jì)算可得，由對稱性的結(jié)論也可得．

（1）設(shè)橢圓的半焦距為.由橢圓的離心率為知，.

設(shè)圓的半徑為，則，

∴，解得，∴，

∴橢圓的方程為

（2）∵關(guān)于原點(diǎn)對稱，，∴.

設(shè)，.

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.

由直線和橢圓方程聯(lián)立得，即，

∴.

∵，，

∴

，

∴，，

∴圓的圓心O到直線的距離為，∴直線與圓相切.

當(dāng)直線的斜率不存在時，依題意得，.

由得，∴，結(jié)合得，

∴直線到原點(diǎn)O的距離都是，

∴直線與圓也相切.

同理可得，直線與圓也相切.

∴直線、與圓相切