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19.已知數列{an}的首項為2,且數列{an}滿足${a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$,設數列{an}的前n項和為Sn,則S2017=(  )
A.-586B.-588C.-590D.-504

分析 a1=2,${a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$⇒${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+1}=\frac{1}{3}$,${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}+1}=-\frac{1}{2}$,${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}+1}=-3$,${a}_{5}=\frac{{a}_{4}-1}{{a}_{4}+1}=2$…可得數列{an}是周期為4的周期數列,即可求解.

解答 解:∵a1=2,${a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$,∴${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+1}=\frac{1}{3}$,${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}+1}=-\frac{1}{2}$,${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}+1}=-3$,
${a}_{5}=\frac{{a}_{4}-1}{{a}_{4}+1}=2$…可得數列{an}是周期為4的周期數列.
S2017=$504×(2+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-3)+2=-586$,
故選:A.

點評 本題考查了數列的遞推式,考查了歸納推理能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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