Question

若函數f(x)=x2+

256

x2

+a+b的零點都在（-∞，-2]∪[2，+∞）內，則

a2+b2

的最小值為

16

2

．

Answer 1

分析：根據均值不等式x2+

256

x2

≥2

256

=32，從而求出a+b的范圍，利用線性規劃的問題，可知

a2+b2

表示原點到可行域的距離，從而求解；

解答：解：函數f(x)=x2+

256

x2

+a+b的零點都在（-∞，-2]∪[2，+∞）內，
∵x2+

256

x2

≥2

256

=32，（x=±4等號成立），
∴a+b≤-32，可以令x=a，y=b，
畫出可行域：

a2+b2

=

x2+y2

表示原點到可行域的距離，如圖最小值即為原點到直線的距離d，
∴d=

|32|

2

=16

2

，
∴

a2+b2

≥16

2

，
故答案為16

2

；

點評：本題考查等價轉化的能力、數學結合的數學方法、利用線性規劃求函數的最值，是一道好題；