Question

若a＞0，使不等式|x-4|+|x-3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值是（　　）

A、0＜a＜1

B、a=1

C、a＞1

D、以上均不對

Answer 1

分析：法一：先求不等式|x-3|+|x-4|的最大值，要求解集不是空集時實數a的取值范圍，只要a大于不等式|x-3|+|x-4|的最大值即可．
法二：不等式的解集不是空集，只需a大于|x-3|+|x-4|的最小值即可，利用絕對值三角不等式可求它的最小值．

解答：解：法一：|x-3|+|x-4|的幾何意義是數軸上的點x 到3和4的距離之和，
當x在3、4之間時，這個距離和最小，是1．其它情況都大于1
所以|x-3|+|x-4|≥1
如果不是空集，所以 a＞1
法二：∵|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1，
∴（|x-3|+|x-4|）_min=1
當a≤1時，|x-3|+|x-4|＜a的解集為∅，
所以a＞1．
故選C．

點評：此題考查了絕對值不等式的解法．表示出原不等式左邊的最小值是解本題的關鍵．還考查絕對值不等式的放縮問題及函數的恒成立問題，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，要注意不等號進行放縮的方向．