Question

不等式

(x3-4x2)2

 +x²-ax+16≥0對x＞0恒成立，則實數a的范圍是

 

．

Answer 1

分析：首先對根式進行化簡，分離出參數a，要把x除到另一邊，所以把x=0列為一類，當x≠0時，可以分離出參數a，下一步求右邊式子的最小值，這個式子含有絕對值，所以要分兩類來討論，分類點是X=4，這個式子所對應的函數我們沒有學習過，要求最小值，需要知道單調性，我們選擇用導數來求，在0＜x＜4時，f′（x）的正負不易判斷，所以把它的分子看作一個新的函數，求其最值．

解答：解：∵

(x3-4x2)2

=|x³-4x²|=x²|x-4|，
∴ax≤x²|x-4|+x²+16
（1）x=0時，0≤16恒成立．
（2）x＞0時，a≤x|x-4|+x+

16

x

，f（x）=x|x-4|+x+

16

x

．
①x≥4時，f（x）=x²-3x+

16

x

，f′（x）=2x-3-

16

x2

＞0，f（x）在[4，+∞）是增函數，f（x）最小值為f（4）=8．
②0＜x＜4時，f（x）=-x²+5x+

16

x

，f′（x）=

-2x3+5x2-16

x2

；設g（x）=-2x³+5x²-16，g′（x）=-2x（3x-5）
 令 g′（x）＞得0＜x＜

5

3

，令 g′（x）＜0得

5

3

＜x＜4
∴g（x）在（0，

5

3

）上是增函數，在（

5

3

，4）是減函數，
∴g（x）在（0，4）上的最大值為-2×(

5

3

)3+5×(

5

3

)2-16＜0，又∵x²＞0，∴f′（x）＜0
∴f（x）在（0，4）上是減函數，∴f（x）＞f（4）=8．
由 （1）（2）知f（x）最小值為f（4）=8
∴實數a的范圍是a≤8．
故答案為a≤8．

點評：此題考查了導數的正負與單調性的關系，難度較大，分類討論中，求一個函數的單調性，為判斷導數的正負，將其中分子作為函數求其最大值，計算量大．