Question

【題目】已知函數f（x）=（sinx+ cosx）2﹣2．
（1）當x∈[0， ]時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若x∈[﹣ ， ]，求函數g（x）= f2（x）﹣f（x+ ）﹣1的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=（sinx+ cosx）2﹣2．

=[2sin（x+ ）]2﹣2

=4sin2（x+ ）﹣2

=2[1﹣cos（2x+ ）]﹣2

=﹣2cos（2x+ ），

∴f（x）=﹣2cos（2x+ ），

可以令2kπ≤2x+ ≤π+2kπ，k∈Z，

∴kπ﹣ ≤x≤ +kπ，

∵x∈[0， ]，

∴函數f（x）的單調遞增區間[0， ]．

（2）解：g（x）= f2（x）﹣f（x+ ）﹣1

= ×4cos2（2x+ ）+2cos[2（x+ ）+ ]﹣1

=2cos2（2x+ ）+2cos（2x+ + ）﹣1

=2cos2（2x+ ）﹣2sin（2x+ ）﹣1

=2﹣2sin2（2x+ ）﹣2sin（2x+ ）﹣1

=﹣2sin2（2x+ ）﹣2sin（2x+ ）+1

∴g（x）=﹣2sin2（2x+ ）﹣2sin（2x+ ）+1

令sin（2x+ ）=t，

∵x∈[﹣ ， ]，

∴﹣ ≤2x≤ ，

∴ ≤2x+ ≤ ，

∴sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴t∈[﹣ ，1]，

∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈[﹣ ，1]，

=﹣2（t+ ）2+1+

=﹣2（t+ ）2+ ，

∴最大值為 ，最小值為﹣3．

∴值域為[﹣3， ]．

【解析】（1）首先，結合輔助角公式，化簡函數解析式，然后，利用降冪公式進行處理即可，然后，結合正弦函數的單調性和周期進行求解；（2）首先，化簡函數g（x）的解析式，然后，結合所給角度的范圍，換元法進行轉化為二次函數的區間最值問題進行求解即可．