Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x3+ax在（﹣1，0）上是增函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的取值范圍A；
（2）當a為A中最小值時，定義數(shù)列{an}滿足：a1∈（﹣1，0），且2an+1=f（an），用數(shù)學歸納法證明an∈（﹣1，0），并判斷an+1與an的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=﹣3x2+a≥0即a≥3x2在x∈（﹣1，0）恒成立，a≥3．

∴a∈[3，+∞）；∴A=[3，+∞）；

（2）解：用數(shù)學歸納法證明：an∈（﹣1，0）．

（ⅰ）n=1時，由題設a1∈（﹣1，0）；

（ⅱ）假設n=k時，ak∈（﹣1，0）

則當n=k+1時，

由（1）知：f（x）=﹣x3+3x在（﹣1，0）上是增函數(shù)，又ak∈（﹣1，0），

所以 ，

綜合（ⅰ）（ⅱ）得：對任意n∈N*，an∈（﹣1，0）．

因為an∈（﹣1，0），所以an+1﹣an＜0，即an+1＜an．

【解析】（1）通過函數(shù)的導數(shù)值恒大于等于0，求實數(shù)a的取值范圍A；（2）直接利用數(shù)學歸納法證明步驟證明an∈（﹣1，0），通過作差法比較an+1與an的大小．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)學歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法．