Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）若直線 與曲線和分別交于兩點.設曲線

在點處的切線為， 在點處的切線為.

（ⅰ）當時，若 ，求的值；

（ⅱ）若，求的最大值；

（Ⅱ）設函數在其定義域內恰有兩個不同的極值點， ，且．

若，且恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ） (ⅱ) （2）

【解析】試題分析：（1）由和導數可得， ，可求得。

由，則在上有解. 即在上有解.

設， ，則.分，a=0,a>0討論。（2）

. 在其定義域內的兩個不同的極值點，. 即， . 兩式作差得， . 由 . 令，則，由題意知: l 在上恒成立， 可求范圍。

試題解析： (Ⅰ) 函數的定義域為.

， .

（ⅰ）當時， ， .

因為，所以. 即.

解得.

(ⅱ)因為，則在上有解. 即在上有解.

設， ，則.

當時， 恒成立，則函數在上為增函數.

當時，取，

取， , 所以在上存在零點.

當時， 存在零點， ，滿足題意.

（2）當時，令，則.則在上為增函數， 上為減函數.

所以的最大值為.解得.

取， .

因此當時，方程在上有解.

所以， 的最大值是.

另解：函數的定義域為. ， .

則， .

因為，則在上有解.即在上有解.

因為，所以.

令 ()..得.

當， ， 為增函數；

當， ， 為減函數；

所以.

所以， 的最大值是.

（Ⅱ） .

因為為在其定義域內的兩個不同的極值點，

所以是方程的兩個根. 即， .

兩式作差得， .

因為 ，由，得. 則 . 令，則，由題意知:

在上恒成立，

令，

則=.當，即時， ， ，

所以在上單調遞增.

又，則在上恒成立.

當，即時， 時， ， 在上為增函數； 當時， ， 在上為減函數.

又，所以不恒小于，不合題意.

綜上， .