Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，，記直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先確定交點(diǎn)位置：在軸上，再根據(jù)圓與軸交點(diǎn)得等量關(guān)系：；又,所以（Ⅱ）設(shè)，表示，然后根據(jù)直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理表示中點(diǎn)坐標(biāo)，并利用條件化簡(jiǎn)：，，最后代入并利用條件化簡(jiǎn)得

試題解析：解：（1）因，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，

又圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，所以橢圓的半焦距， ……………3分

所以，即，所以橢圓的方程為. ……………6分

（2）方法一：設(shè)，，，

聯(lián)立，消去，得，

所以，又，所以，

所以，， ……………10分

則. …………14分

方法二：設(shè)，，， 則，

兩式作差，得，

又，，∴，∴，

又，在直線上，∴，∴，①

又在直線上，∴，②

由①②可得，. ……………10分

以下同方法一.