Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）當時，求證：存在實數使.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據題意可得處的切線的斜率為2，從而求得a（2）對于存在問題可根據題意賦值驗證，當時，顯然有，即存在實數使；當時分析函數單調性，得函數最小值，若最小值小于1即得證

試題解析：

（Ⅰ），

因為曲線在處的切線與直線垂直，

所以切線的斜率為2，

所以，

所以.

（Ⅱ）法1：當時，顯然有，即存在實數使；

當時，由可得，

所以在時， ，所以函數在上遞減；

時， ，所以函數在上遞增

所以 是的極小值.

由函數可得，

由可得，

所以，

綜上，若，存在實數使.

（Ⅱ）法2：當時，顯然有，即存在實數使；

當時，由可得，

所以在時， ，所以函數在上遞減；

時， ，所以函數在上遞增.

所以 是的極小值.

設，則,令，得

	+	0	-
	↗	極大值	↘

所以當時，

所以，

綜上，若，存在實數使.